Un poco de historia

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Para poder desarrollar lo que sucede en general con la ecuación general de segundo grado, es necesario considerar su origen en las secciones cónicas las cuales cuentan con una historia muy antigua que a continuación se describe brevemente:
La utilidad práctica de las cónicas en aquellos tiempos fue la resolución de tres problemas que no tienen que ver con la órbitas de los plantas, sino con el intento de realizar tres construcciones utilizando únicamente regla y compás. Estas construcciones son las siguientes:
Estos problemas, que en realidad no tienen que ver con las grandes aplicaciones que se vieron posteriormente en la astronomía, ya que una según leyenda una mortífera peste asoló Atenas por el año 430 a. de C. por lo que al preguntarle los atenienses al oráculo de Delos la forma de acabar con ella, el oráculo dijo que para contener la furia de los dioses tenían que duplicar el altar de Apolo que tenía forma cúbica, por lo que de esta forma nace la leyenda de los tres problemas clásicos cuyo origen es principalmente la duplicación del cubo.
Ninguno de estos problemas se pueden resolver utilizando únicamente regla y compás, por lo que ello originó la exploración de diversos caminos diferentes los cuales implicó el descubrimiento de las curvas cónicas.
En particular Menecmo (375-325 a.c.) halló primero estas curvas, pero fue Apolonio de Perga (262-190 a.c.) quien realiza un estudio más exhaustivo en donde determina sus definiciones de manera definitiva.
A grandes rasgos, podemos denominar curvas cónicas a las secciones producidas por un plano sobre la superficie cónica de revolución.
Dependiendo de la posición del plano con respecto al eje del cono obtendremos una elipse, una parábola o una hipérbola.
La superficie cónica, se genera al girar una recta "generatriz" alrededor de otra fija llamada "eje".
Se denominan curvas cónicas a las secciones producidas sobre la superficie cónica, por un plano que no pasa por el vértice.
Cuando el plano es paralelo a una generatriz de la superficie, la curva es una parábola.
Parábola Cono
Cuando el plano corta todas las generatrices de la superficie, la curva es una elipse.
Elipse cono
Cuando el plano es paralelo a dos generatrices de la superficie, la curva es una hipérbola.
Hipérbola Cono

Estas curvas las podemos observar mejor en el cono completo a continuación:

Elipse-CircunferenciaParábola-Hipérbola

A continuación observa la construcción de las secciónes cónicas en el siguiente applet en donde puedes mover los deslizadores presentes para modificar la velocidad de giro, así como el cambio de perspectiva:

Applet de Jerzy Mil lo puedes descargar en su versión orginal en:
http://www.geogebra.org/en/upload/files/Polish/yuri1969/aaaa/stozek_przekroje.html

Es necesario mencionar que existen algunos casos degenerados de estas curvas y que se pueden ver cuando el plano corta por el vértice del cono. En particular podemos distinguir los tres siguientes:
Por lo que observamos que todas los lugares geométricos considerados en este curso se pueden obtener como casos particulares de curvas cónicas.
Finalmente, debemos mencionar que las curvas cónicas no solo sirven para resolver los tres problemas clásicos que intentaron los matemáticos griegos, sino estas ayudaron a resolver problemas muy importantes, principalmente de aspecto astronómico de manera importante.
Saenz (2005) menciona que lo anterior es de resaltarse ya que " mientras Apolinio realizó un estudio exhaustivo de esta familia de curvas, Galileo, Kepler y Newton las colocaron en el centro de la explicación de los movimientos celestes".
Por último les comparto el siguiente vídeo en el cual se resalta la importancia y utilidad de las cónicas en general y sus muchas aplicaciones:

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